1. Schularbeit

7C                                                                                                                 21.10.2003

1) „Noch einen kleinen Schritt nach hinten, damit man den Berg gut sieht ...!“ Klaus Kletterer hatte soeben das letzte Photo von seinem Freund geschossen, ehe dieser die Felswand hinabstürzte. Unter der Annahme, das die Wand 400m hoch war, lässt sich die Höhe H, in der sich Klaus Freund nach t Sekunden befand, durch die Funktion H(t) = 400 – 5t² beschreiben.

a)      Skizziere den Verlauf der Funktion in einem sinnvollen Bereich  und beschreibe alle ihre Eigenschaften!

b)      Wie lange dauerte der „Flug“ des Freundes und wie lässt sich dieser Wert interpretieren?

c)      Stelle eine Formel für die mittlere Änderung der Höhe im Zeitraum [t₁, t₂] auf und berechne damit die mittlere Änderung der Höhe pro Sekunde in den Zeitintervallen [2; 3] und [6; 8]! Interpretiere das Ergebnis!

d)      Mit welcher Geschwindigkeit schlug Klaus Freund auf dem Boden auf (vernachlässige den Luftwiderstand!)

2) f(x) =

            a) Bestimme den Definitionsbereich der Funktion!

            b) Bestimme mit Hilfe der Grenzwertberechnungen das Verhalten der Funktion an den Polstellen!

            c) Skizziere den Verlauf der Funktion möglichst genau! Gegen welchen Wert strebt f(x) für x®±¥?

3) a) Bestimme jene Punkte, an denen f(x) = 4x³ – 12x eine waagrechte Tangente besitzt! Interpretiere die Lage der Punkte. Skizziere dazu den Verlauf der Funktion!

b) Bestimme die Monotoniebereiche der Funktion! Begründe dabei genau die vorliegende Monotonie!

c) Erkläre, weshalb die Funktion g(x) = x⁴ – 3x² drei „Extremwerte“ hat! (Skizze!)

4) f(x) = x³  -3x² und g(x) = ²/₃ x³ + 3x² 

  Suche jene Punkte auf f(x), in denen die Funktionen dieselbe Tangentensteigung besitzen! Erkläre ausführlich, was man aus der Lage dieser Punkte für den Verlauf der Funktion entnehmen kann!

[1)a)2P. b)1P c)2P. d)1P.  2) a)1P. b)2P. c) 2P  3)a) 2P. b) 2P. c) 2P..  4) 3P.]