- Schularbeit
6C 3. 3. 2004
1) Von einem Rhombus (einer Raute) kennt man die Länge der Diagonale e=20cm und den Winkel α=48°. Stelle allgemeine Formeln zur Berechnung von a, ha und f auf und berechne diese Seitenlängen!
2) Vom Punkt A einer geraden, unter e=15° ansteigenden Straße sieht man die Spitze S eines in der Richtung der Straße liegenden Turmes unter dem Höhenwinkel a=27,5° und von dem 86,4 m näher beim Turm liegenden Punkt B unter dem Winkel b=39.6°.
a) Stelle die Situation in einer möglichst übersichtlichen Skizze dar!
b) Wie hoch ist der Turm?
3)a) Für welche Winkel x gilt: sin (x) = - cos(x)? (Begründung und Skizze!)
b) Erkläre, weshalb gilt: cos(0°) = sin(90°) (Begründung und Skizze!)
c) Finde die Gleichung folgender Funktion: (Begründung!)
4) Skizziere den Verlauf folgender Funktionen:
a) f(x) = 2 sin(x/2) b) cos(3x)
[1) 4P. 2) a)2P. b)4P. 3) a) 1P. b) 1P. c)2 P. 4) a)2P. b)2P.]
Lösungen:
1) a) Wegen der Eigenschaft, dass bei einem Rhombus die Diagonalen den Winkel halbieren, gilt:
. Daraus
berechnet man a=10,9463cm.
In gleicher Weise gilt:
. Daraus
berechnet man f=8,9045cm.
Für ha gilt:
. Daraus
erhält man ha= 8,1347.
2) Die folgende Skizze veranschaulicht die Situation:
Wichtig: Da die Winkel α und β jeweils von der Horizontalen aus gemessen werden, muss man zunächst die entsprechenden kleineren Winkel berechnen. Man erhält für α1=12,5°, für β1=24,6°. Mit δ=180- β1= 155,4° kann man nun auch den dritten Winkel im Dreieck ABS berechnen. Man erhält für γ=12,1°.
Mit Hilfe des Sinussatzes berechnet man nun die Seite BS:
. Man erhält
für BS=89,21m.
Für den Winkel an der Basis des Turmes ω gilt: ω=90°+ε=105°.
Daher kann man die Höhe des Turmes direkt über den Sinussatz berechnen:
. Für h erhält
man: 38,447m.
3) a) sin(x) = -cos(x) gilt für x=135° und x=315°.
b) sin(x) und cos(x) sind zueinander um 90° phasenverschoben!
c)f(x) = 3 cos(2x). Die Funktion hat die Amplitude bei y=3 und hat eine doppelt so hohe Frequenz wie sin(x).
4) a) f(x) = 2 sin (x / 2):
b) f(x) = cos(3x):
