6C 28.10.2003
1)a) Stelle eine Gleichung einer Ebene E durch A(2, 1, 0), B(1, -1, 2), C(5, 4, 0) in Parameterform auf!
b) Bestimme die Gleichung dieser Ebene in Normalvektorform, indem Du die Ebene parameterfrei machst! Kontrolliere Dein Ergebnis mit Hilfe des Vektorprodukts!
c) Überprüfe, ob Q(-1, 2, -4) und R(2, 1, 0) auf der Ebene liegen! Bestimme die Koordinaten von P(3, 4, z) so, dass P auf der Ebene liegt!
2) Bestimme die gegenseitige Lage der Ebene E: x – 2y – z = 2 und der Geraden g durch die Punkte
U(2, 4, -8) und V(0, 4, 4)! Begründe das Ergebnis!
3) Bestimme im Dreieck A(1, -1), B(7, 4), C(-4, 4) die Koordinaten des Höhenschnittpunktes und überprüfe Deine Berechnungen durch eine Skizze!
4) Gegeben sind die beiden Geraden g: X= (1, 1, 1) + s (2, 4, -1) und h: X=(-1, -3, 2) + t (-4, -8, 2).
a) Überprüfe, ob durch die beiden Geraden g und h eine Ebene festgelegt wird! Begründe deine Überlegungen genau!
b) Erkläre anhand einer Skizze, unter welchen Voraussetzungen durch zwei parallele Geraden in Â3 eine Ebene festgelegt wird!
c) Zeige, dass die beiden Geraden g: X=(1, 2, 1) + s (4, 2, 1) und h: X=(2, 4, -1) + t(2, -2, -4) aufeinander normal stehen. Haben g und h einen Schnittpunkt?
[1)a) 1P. b)3P. c) 2P. 2) 3P. 3) 4P. 4) a)3P. b)2P. c)2P.]
Lösungen:
1) a) Richtungsvektoren und Parameterform bestimmen:
b) E: - 6·x + 6·y + 3·z = -6
c) Q (-1, 2, -4) einsetzen, man erhält : 6+12-12 =6, Q liegt nicht auf E! P(3, 4, z) einsetzen, man erhält:
-18+24+3z=-6 und damit:z= -4 P(3, 4, -4)
3)Gleichungen der beiden Höhen:
hc: 6·x + 5·y = -4
hb : 5·y - 5·x = -15
H(1, -2)
4) Da die beiden Richtungsvektoren parallel sind und S(-1, -3, 2) auf g liegt, sind die beiden Geraden identisch und legen daher keine Ebene fest!